La lógica del juego

El 25 de Junio de 1857, un joven matemático llamado Charles Lutwidge Dodgson se encontraba en su habitación del Christ Church, escuchando los ecos de un baile celebrado en el salón. En ese momento escribió un poema a modo de acróstico, cuya estrofa más conocida es la que sigue:

¿Qué me importa a mí ese jolgorio, 

si mi mente está llena de potencias y quebrados?

Es evidente que este matemático sabía divertirse. Pero que se trataba de un profesional serio tampoco puede negarse, a juzgar por los títulos de algunas de sus obras, entre los que destacan: "Fórmulas de trigonometría en el plano", "Notas sobre los dos primeros libros de Euclides", "Guía del estudiante de matemáticas" o "Tratado elemental sobre determinantes". Excitante, ¿no es cierto? Además de estas obras de carácter académico, se dedicó también a diversos aspectos de la matemática recreativa, exponiendo numerosos problemas de ingenio, así como diversos juegos y métodos mnemotécnicos para recordar fácilmente largas retaílas de fechas y cifras. Se trataba de un intelectual de la Inglaterra victoriana del S. XIX, gran aficionado a la fotografía y a los paseos en barca.

El paciente lector que no haya empezado este artículo por el final se preguntará seguramente:

"¡Bueno! ¿Y quién demonios era?"

Quizás podamos ayudarle a aclarar sus ideas citando algunas de las obras, de índole no matemática, por las que es más conocido: "La caza del Snark", "Silvia y Bruno" y, especialmente, "Alicia en el país de las Maravillas" y "A través del espejo". Hablamos, como ya os podréis figurar, de Lewis Carroll, autor que sigue fascinando a niños y adultos con su pasión por los juegos y la lógica. Resulta fascinante recorrer sus libros y descubrir en cada nueva lectura ocultas alusiones a diversos aspectos de las matemáticas. 

El hombre tímido, algo sordo y tartamudo que se dedicaba a dar clases de matemáticas a jóvenes estudiantes durante el día, se transformaba durante sus largas noches en vela en un atrevido e ingenioso cuenta-cuentos. Las inocentes historias contadas a las hermanas Liddell durante un paseo en barca se convertían en delirantes aventuras en un mundo subterráneo más allá de la lógica y lo irracional. Es justamente esta antítesis, que algunos autores llegan a calificar de "desdoblamiento de la personalidad" (lo cual yo considero quizás algo exagerado), uno de los aspectos que más han fascinado de la personalidad de Carroll/Dodgson. Y sin embargo, cuando hablamos de ella, muy pocas personas conocen la faceta seria que servía en cierto modo de "tapadera" al irreverente matemático. Al leer una biografía suya, las matemáticas y los juegos se entrelazan de tal modo que pasan a ser casi indistinguibles: podemos aprender lógica deduciendo que "ninguna golosina deliciosa es perjudicial", adivinar números imposibles, encriptar mensajes con matrices o construir con un pañuelo un recipiente que contenga el universo entero.

Me gustaría animar a los lectores que quieran aprender y disfrutar algo más con esta faceta de Lewis Carroll, tan importante para comprender su obra literaria, recomendándoles un excelente libro publicado por la editorial Turner titulado "Lewis Carroll en el país de los números". Su autor, Robin Wilson, ha llevado a cabo un exhaustivo trabajo de documentación y recopilación de datos, que incluyen numerosos artículos poco conocidos del autor, así como problemas, juegos y pasajes de sus obras; todo ello hilvanado con gran maestría y narrado con un estilo agradable y distendido, haciendo de esta biografía una obra amena incluso para aquellos lectores que no suelan tratar con matemáticas (yo diría que es amena especialmente para ellos). 

Para concluir este pequeño artículo y aportar pruebas que avalen mi tesis, me gustaría exponer dos "perlas" que me han parecido especialmente interesantes, y que suelen aparecer en la mayoría de libros dedicados a Lewis Carroll. La primera de ellas es el siguiente poema, a él atribuido:

I often wondered when I cursed, 

Often feared where I would be  -

Wondered where she´d yield her love

When I yield, so will she,

I would her will be pitied!

Cursed be love! She pitied me...

(A menudo me preguntaba, cuando renegaba

muchas veces temía por dónde andaría...

Me preguntaba cuándo llegaría a amarme,

si me rindo, también cederá ella.

¡Ojalá su voluntad fuera respetada!

¡Maldito sea el amor! Ella me compadecía...)

Quizá parezca insulso a primera vista, pero... ¿Habéis probado a leerlo palabra por palabra de arriba a abajo, por columnas, además de de izquierda a derecha, por filas? ¡Es el mismo poema!

Para finalizar, expongo brevemente el método inventado por Lewis Carroll para adivinar, dada una fecha numérica (por ejemplo 9/02/1991), el día de la semana en el que sucedió. Hay que remarcar que este método sólo funciona para fechas posteriores a la corrección del calendario gregoriano en 1582:

Método de Carroll para averiguar el día de la semana

en que cae cualquier fecha

1º.- Dividir la fecha elegida en cuatro partes, es decir, la cifra que representa los siglos, el número del año del siglo correspondiente, el mes y el día del mes. 

Ejemplo: si la fecha es 18 de Septiembre de 1783, la descomponemos en: 17  |   83   |   9  |   18  |

2º.- Calcular las cuatro operaciones siguientes, sumándolas, sea cual sea el resultado, al total de las operaciones ya calculadas. Cuando algún resultado, o el total, sea superior a 7, dividir por 7 y memorizar tan sólo el resto.

- En la cifra indicativa del siglo: dividirla por cuatro, restar de 3 el resto y multiplicar el resultado por dos.

Ejemplo: 17 dividido entre 4 nos da un resto de 1; si restamos 1 de 3, nos queda 2, que multiplicado por 2 nos da 4.

- En la cifra indicativa del año: sumar el número de docenas, el sobrante, y el número de cuatros que tenga el sobrante. 

Ejemplo: 83 es igual a 6 docenas más 11; si sumamos ambas cantidades nos da 17, más 2 (11 = 4 + 4 + 3 , hay 2 cuatros), 19, es decir (dividiendo por 7), resto 5. Total: 9, es decir, 2 (resto de dividir nuevamente por 7).

- En el mes: si comienza o finaliza por vocal en inglés, restar de 10 la posición numeral que ocupa en el año. Esta cifra, más el número de días de dicho mes, nos dará el numeral del mes siguiente. El numeral para Enero es el 0; para Febrero o Marzo (tercer mes) es el 3; para Diciembre (duodécimo mes) es el 12. 

Ejemplo: El mes de Agosto es el mes 8, de modo que si restamos 10 - 8 = 2. Por tanto el numeral de Septiembre será 2 + 31 (número de días de Agosto) = 33, es decir, 5 (resto de dividir por 7).  Sumándolo al resultado anterior nos queda 2 + 5 = 7, es decir, 0.

- En el día: es exactamente el día del mes.

Si la fecha corresponde a Enero o Febrero de un año bisiesto, habremos de rectificar la cifra así obtenida restándole 1 (añadiendo antes 7 si el total fuese 0). Hay que recordar que todos los años divisibles por 4 son bisiestos, a excepción de aquéllos que marcan el inicio de cada siglo, que no sean divisibles por 4. Por ejemplo, 1800 no es bisiesto pero 2000 sí lo es.

El resultado final nos dará el día de la semana, habida cuenta de que el domingo es el 0, el lunes es el 1, y así sucesivamente. 

Ejemplo: 18 nos da 4, que sumado al resultado anterior nos da 0 + 4 = 4. Respuesta: Jueves

Podéis creerlo o no, pero Lewis Carroll afirmaba que la cuenta mental le llevaba unos 20 segundos después de cierta práctica. Yo le rondo los 30 o 40 después de hacerlo varias veces.

¡Sed lógicos, y sed felices!

  

Contando pollos

Una pregunta aparentemente banal - ¡cómo nos gusta a los matemáticos esa palabra! - que podría ocurrírsele a uno es la siguiente: ¿cómo contarán los pollos en una tribu cuyo sistema de numeración se reduzca a 1, 2, infinitos?

Supongamos que un explorador interesado en las costumbres de los Araguamaneos del sur llegara a su tribu con la intención de que le explicaran la estructura jerárquica del poblado. Ellos le responderían que el respeto tributado a cada núcleo familiar depende del número de pollos que poseen, por ser una medida de la capacidad económica de cada familia (se trata de un sistema que pronto desembocará en el capitalismo más feroz). Hasta este punto, todo resulta más o menos aceptable - excepto para algún sector comunista, pero esto es otra historia. El problema radica en que los habitantes del poblado jamás se han visto en la situación de contar más allá del número 2; vamos, que ni se plantean qué pueda haber más allá.

Sorprendido por este hecho, nuestro explorador les pregunta cómo es posible que sepan cuál de dos familias tiene más pollos en el caso de que ambas posean más de 2 - cosa que en familias de clase media-alta ocurre en numerosas ocasiones. El chamán de la tribu, encargado de las cuestiones científicas (ahora se explica por qué no cuentan más allá de 2), le explica a nuestro atónito explorador el sistema que utilizan: cada familia coloca a sus pollos en fila india, de manera que las dos filas desfilen emparejadas por la puertecita del corral. En el momento en que los pollos de una de las dos familias se acaben, la fila correspondiente dejará de pasar por la puertecita del corral, y la otra continuará desfilando. De ese modo, la familia cuyos pollos hayan quedado desparejados será, como resulta lógico, la que más pollos tiene.

Y todo este rollo patatero, ¿por qué?

Georg Cantor (1845-1918)

La respuesta es algo más profunda de lo que podría pensarse en un principio. Hemos de remontarnos al último cuarto del S. XIX, más concretamente a 1874, año en el que aparece el primer trabajo del matemático Georg Cantor sobre teoría de conjuntos, hoy en día considerada la base de las matemáticas modernas. En su estudio de las magnitudes infinitas, que en esencia son tratadas como conjuntos infinitos, Cantor va a introducir una noción revolucionaria: los cardinales transfinitos. Este nuevo concepto sacude todos los cimientos intuitivos de nuestra experiencia cotidiana, puesto que afirma que existen infinitos "mayores" que otros.

**** Punto crítico de desbandada general; rogamos por favor 

mantengan la calma y continúen leyendo detenidamente ****

Vamos a utilizar la amena historia anterior para intentar aclarar qué significa que un infinito sea "mayor" que otro. Comenzando por el principio: llamamos cardinal de un conjunto al número de elementos que contiene dicho conjunto. Hasta aquí bien, pero claro, ¿cuál es el cardinal de los conjuntos que son infinitos, y cómo podemos compararlos, si ni siquiera podemos contarlos? Aquí entra en juego el concepto de cardinal transfinito introducido por Cantor.

De todos los conjuntos de números infinitos con los que tratamos, podemos aceptar sin mucha dificultad que el más reducido de todos es el de los números naturales, denotado por , con los que estamos habituados a tratar: 

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ..........

El cardinal transfinito de este conjunto se denomina (es decir, "aleph sub-cero"), y es el más pequeño posible. Ahora, recordando las enseñanzas del chamán de la tribu, vamos a establecer un método efectivo de comparación con otro conjunto infinito, haciendo que sus elementos desfilen emparejados en dos filas indias, exactamente igual que con los pollos (el término técnico en matemáticas para este emparejamiento se denomina correspondencia biyectiva).

¡Dicho y hecho! Tomemos un conjunto infinito distinto, el de los números enteros o , que como ya sabemos son los de la forma:

........, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .........  

Aparentemente uno podría pensar que este conjunto es evidentemente mayor que el de los números naturales, puesto que éstos están contenidos en él. Sin embargo, y contra toda intuición, vamos a "emparejar" ambos conjuntos y veremos que "ningún pollo queda descolgado":

Asociemos al número 0 (de los números enteros) el número 1 (de los números naturales). Al número 1 (de los números enteros) le corresponderá el número 2 (de los números naturales); al número -1 (de los números enteros) le corresponderá el número 3 (de los naturales), y así sucesivamente, como muestra la imagen siguiente:

Observamos que, por muchos pollos que hagamos desfilar por la puertecita del corral, todos seguirán emparejados, sin que ninguno de ellos pueda quedar descolgado. Acabamos de demostrar que ambos conjuntos tienen el mismo cardinal transfinito, que es, como ya hemos visto, .

En este momento surgen algunas cuestiones, que resolveremos en un futuro artículo (si vemos que éste ha tenido aceptación):

- ¿Qué ocurre con los demás conjuntos de números: los racionales, los reales...?

- ¿Qué conjuntos infinitos son "más grandes" que el de los números naturales?

- ¿Hay más números pares positivos que números naturales? 

- ¿Cómo es que un chamán de una tribu se maneja mejor con conjuntos infinitos que algunos catedráticos de matemáticas alemanes del S. XIX, a juzgar por la mala aceptación de las teorías de Cantor?

¡Hasta el infinito, y más allá!

Ein musikalisches Opfer (A musical offering)

En "Gödel, Escher, Bach", la obra más conocida de Douglas R. Hofstadter, el autor muestra en un pasaje especialmente afortunado el paralelismo existente entre una pieza de música clásica y una demostración matemática. En concreto, el puente que relaciona unos elementos con otros es, en palabras del autor, "el sentido matemático de la tensión, íntimamente relacionado con su sentido de la belleza". 

Johann Sebastian Bach (1685-1750)

Esta tensión se puede sentir, al escuchar una pieza musical, en las progresiones armónicas que nos permiten saber cuál es la tonalidad de la obra, sin llegar a resolverla. En el caso de la demostración matemática, la tensión es provocada al adentrarse en la lectura de los razonamientos, los cuales se alejan cada vez más de los postulados iniciales, sin que veamos exactamente cuál será, finalmente, la "resolución". Así mismo, tenemos también momentos de "respiro" tanto en la obra musical como en la demostración: en una pieza de tipo AABB se "arriba a una resolución momentánea, aun cuando no se haga en la nota tónica". En el ámbito matemático, haríamos referencia a los resultados intermedios conocidos como "lemas" - pruebas de menor profundidad que son utilizados en el cuerpo principal de la demostración.

En uno y otro caso, la sensación que tiene el oyente/lector es la de alguien que emprende un viaje por un camino, dejándose llevar, sin saber hacia dónde se dirige. En la pieza musical, el punto de partida es la nota tónica, mientras que en la demostración se trata de las hipótesis iniciales. A medida que la pieza avanza, el oyente avezado puede intuir con mayor o menor dificultad hacia dónde se encaminan los pasos, y de qué forma va a concluir el viaje. El matemático que lee una demostración no necesita ninguna información añadida, puesto que el final de la prueba debe ser exactamente el enunciado que se pretende demostrar.
 

En ambas creaciones existe un momento en el cual se tiene la sensación de que nos encaminamos indudablemente hacia la conclusión. En casi todas las demostraciones - o al menos, diría Hardy, en las "elegantes" - existe una idea fundamental alrededor de la cual se estructura toda la prueba y, al llegar a ese paso crucial (la llamada muchas veces "idea feliz") , el matemático siente un profundo escalofrío de admiración y de complacencia estética. Es en ese instante cuando vemos la luz al final del túnel y, al igual que ocurre en el desenlace de la tensión musical, nos lanzamos ávidamente a disfrutar de cada uno de los pasos siguientes,  sabiendo que toda la obra está ya en nuestras manos. 

 En mi opinión, no existe una obra mejor que la de Johann Sebastian Bach para exponer con claridad este paralelismo tan íntimo. A veces se suele objetar que, si uno quiere buscar la apariencia matemática en un tema musical, lo mejor es remitirse a los compositores del clasicismo o, incluso, a los de la segunda escuela vienesa, quizás por su sobriedad o por su estricta adhesión a unas normas formales. Sin embargo la obra del organista de Leipzig aporta, a diferencia de las arriba mencionadas, una clara e importante "distinción entre figura y fondo" ya remarcada por Hofstadter en su libro. En este caso nos referimos a la relación de tensión existente entre la línea melódica principal y el acompañamiento, que Bach supo aprovechar con total maestría para desarrollar su potente visión musical. Una de las pruebas más elocuentes en este sentido es su inmortal Canon 5 a 2 Per Tonos "Ascendenteque Modulatione Ascendat Gloria Regis" (Así ascienda la gloria del rey como ascienden las modulaciones). En suma, la tesis que mantenemos es que la profusión y diversidad de líneas melódicas aparentemente independientes entre sí, pero entrelazadas con maestría para crear los efectos más sorprendentes, es esencialmente la que otorga a la obra de Bach esa profundidad de la que adolecen otros compositores posteriores, más sobrios en ese sentido. Es justamente en la extraordinaria capacidad del autor por aunar temas en apariencia tan dispares donde se manifiesta con toda claridad la profundidad estética de su proceso de creación, que se nutre evidentemente de lo formal para ir siempre un poco más allá. Eso es, a mi juicio, lo extraordinario del genio de Bach. 

Por esta razón creo que Bach es el más matemático de los compositores. Porque las matemáticas, al igual que sus composiciones, se nutren de lo formal para ir, siempre, un poco más allá...

Aquí tenéis esta pequeña ofrenda musical. Para una descripción muy bella y completa de este maravilloso canon, remito nuevamente al libro de Douglas R. Hofstadter "Gödel, Escher, Bach: un Eterno y Grácil Bucle" pág. 12 (Ed. Tusquets 2009).