La máquina más bella

¿Dónde están las matemáticas? Parece fácil responder a esta pregunta diciendo: "en el papel" o, más precisamente, "en las mentes de todos aquellos que se dedican a las matemáticas". Otros, menos materialistas, podrían defender la existencia de un mundo más allá del nuestro en el que las matemáticas son objetos tan "reales" como aquí pueda serlo un árbol o una roca. Pero al fin y al cabo tan sólo hablamos de niveles de realidad a partir de la capacidad cognitiva de la mente humana; es decir, tomemos un punto de vista u otro, lo que no podemos evitar es medir finalmente las cosas que nos rodean con el rasero de nuestro intelecto. Algunas personas defienden la tesis de que la realidad que nos rodea es la única que existe, y que no hay "más planos" de existencia. Otros justifican ciertos aspectos más "espirituales" de lo cotidiano diciendo que su esencia es supramaterial, o si se quiere, "que todavía no hemos salido de la cueva". Esa dicotomía idealista/materialista es la que ha marcado el panorama filosófico de la cultura occidental desde hace casi 2.500 años. 

¿Radica el problema en nosotros? Hay muchas maneras de plantearse esa pregunta, pero sea cual sea la corriente filosófica de la que partamos, todas vienen a coincidir esencialmente en que SÍ, el problema lo tenemos nosotros -- por otra parte es lógico que en la duda sobre si las piedras están equivocadas al ser como son o si somos nosotros quienes nos equivocamos al verlas como las vemos, gane siempre el "oiga, las piedras no tienen culpa de nada". Las piedras no se molestan en plantearse su existencia; simplemente caen, ruedan, se chocan y se fracturan. Nuestra problemática radica en que somos una construcción muy sofisticada de la naturaleza, pero aún así no podemos escapar a nuestra programación. Podría parecer chocante hablar del ser humano como de una máquina programada, ya que alguien podría pensar que semejante determinismo materialista nos hace perder cualquier ventaja sobre las demás criaturas de la creación -- O a lo mejor se trata de una pura cuestión de esteticismo filosófico, quién sabe. Al decir que estamos programados, me refiero a que la naturaleza ha creado con nosotros el programa biológico-adaptativo neuronal más complejo, intrigante y sofisticado de todo el planeta tierra, y hasta del universo (por lo que sabemos hoy en día). Si se habla de programación, la gente tiende a pensar en robots autómatas contemporáneos; sofisticados, sí, pero poco atractivos puesto que somos, de hecho, muy superiores a ellos en gran cantidad de aspectos cruciales. Me gustaría que dejáramos de pensar de esa forma, puesto que cuando hablo del cerebro humano, estoy refiriéndome a algo mucho más allá de lo que la ciencia actual puede siquiera plantearse. Hablo de algoritmos que pueden corregirse a sí mismos, aprender, eliminar datos automáticamente, crear emoción, suscitar ira, convencerse de algo, elegir y desechar... Y creo firmemente que cuando alguien habla de un influjo divino inculcado en nuestras mentes por un ser supremo de cuya especie elegida formamos parte, ese alguien no habla sino desde una metáfora nacida de la ignorancia, queriendo embellecer un proceso evolutivo completamente natural, de cuyo desarrollo todavía sabemos muy poco o nada.

Old West

El pistolero levantó el pie derecho flexionando su larga pierna, apoyándolo con la planta sobre la columna de madera que sujetaba todo su cuerpo. Con la mirada aparentemente perdida en el horizonte, cruzó los brazos sobre el pecho y lanzó un indiferente escupitajo al suelo. Estaba a punto de amanecer, y esa oscuridad que precede a la salida del sol, y que parece aún más cerrada que la penumbra de la noche, se cernía sobre el pueblo desierto. Detrás de la entrada, las imponentes llanuras se podían vislumbrar a través de los riscos, pelados y polvorientos. Los edificios, viejos y desfondados, parecían a veces caras monstruosas con ojos de cristales quebrados. Los carteles polvorientos anunciaban el progreso, siempre cambiante y traicionero, y los matojos que crecían por doquier parecían contradecir orgullosos las pretensiones de los coloridos reclamos del Saloon. La civilización había llegado a aquel desierto, pero había pasado rápidamente de largo, ocupándose de cosas más fructíferas, al parecer. Al pistolero todo eso le importaba un comino. Él conocía todo eso ya, lo llevaba dentro de alguna manera. No era el lugar donde habían nacido sus abuelos, pero él sabía que a Dios eso no le importaba, y que por eso Él le había colocado aquella pistola en la cartuchera, mientras que a los indios les había dado tan sólo tomahawks. Su madre había sido buena y cariñosa con él. Su padre no. En su pueblo nadie había llevado nunca gafas, ni las necesitaban. Nunca habían tenido que observar algo detenidamente a menos de 10 metros de distancia, y para firmar con una equis no hace falta reflexionar mucho...

El pistolero sabía que su tiempo había llegado a su fin. Lo supo desde que vio aquella monstruosa serpiente de acero reptar por el desierto a toda velocidad, espantando a su caballo y a él mismo con su estridente y potentísimo chorro de vapor. Él siempre pensó que los hombres de negocios acabarían por llevar la delantera a los simples "hombres". Pensaba que Dios les había dado aquel infierno a los de su raza, que era distinta de la de aquellos con trajes de seda e ideas de gusano, pero qué demonios, tener un infierno es mejor que no tener nada... Sin embargo, estaba equivocado, si no en todo, al menos en lo fundamental de sus ideas. Los hombres de negocios nunca dejaron de pensar en poseer ese infierno, que a ellos podía reportar los mayores beneficios, y por eso habían enviado a los hombres de la raza del pistolero, como una especie de avanzadilla o de sonda, que preparara la invasión de la "buena sociedad". Primero un juez, luego un gobernador; primero un territorio, luego un estado. Ésa era la idea. Y había llegado el momento de que al pistolero le sucediera el granjero; de que al posadero le sucediera el hotelero, y de que al amo le sucediera otro amo. Quién sabe lo que pasaría con los indios... Desde luego, la cultura que traían los pimpollos era mucho más refinada que la de los nativos, pensaba irónicamente el pistolero; mientras que éstos exponían orgullosamente las cabelleras de los enemigos caídos, los primeros exponían cuadros vivientes de sus enemigos vencidos en las llamadas "reservas", para que cualquiera pudiera reírse ante los supervivientes del estado de sometimiento al que habían llegado aquellas razas indómitas. Todo eso al pistolero no le gustaba, pero no por un sentimiento de compasión hacia los indios, sino simplemente porque le hacía recordar días de su juventud que ya no podrían volver jamás. Porque los indios ya estaban derrotados frente al pueblo elegido de Dios, y él no podría tener la satisfacción de matar rebeldes, ni de conseguir pieles, ni de acostarse con las indias salvajes.

De sus pensamientos le sacó el ruido lejano de un caballo que se acercaba. El pistolero se buscó instintivamente la cartuchera con la mano izquierda (era zurdo), mientras que con la derecha hurgó en el bolsillo de su camisa, donde guardaba el pequeño crucifijo de oro que su madre le había dado cuando se marchó de casa. Toda su vida había vagado sin ningún objetivo más que el de sobrevivir para poder beber otro trago. Él sabía que a su abuelo le había pasado lo mismo. Al fin y al cabo, si a uno no le quieren en un lugar, lo mejor es que se vaya de allí lo antes posible. Si es en caballo, pues cabalgando, y si hay que cruzar un océano, se cruza y punto. Había llevado aquel crucifijo toda su vida, y desde que tuvo que hacerse hombre para salir a las praderas no se había separado de él. "El pueblo americano lleva un crucifijo en su corazón", le había dicho su madre. Quizá lo había oído decir a alguien que había escuchado a Lincoln, o que había oído hablar de él. El pistolero conservaba aquella crucecita de oro por cariño y devoción, aunque a veces traicionaba vulgarmente la santidad de su reliquia pensando que la tenía porque "le daba suerte". También en eso se parecía el pistolero al pueblo americano. De alguna manera, su amuleto le daba una sensación de seguridad, como si justificara sus actos el hecho de reservar un lugar cerca de su corazón para aquel símbolo de la verdadera fe. O al menos eso era lo que a él le hubiera gustado pensar. Él solía razonar que los indios sin ley ni Dios podían hacer lo que se les antojara, porque no tenían que rendir cuentas al Todopoderoso de sus actos. No se acordaba de los niños asesinados, ni de las mujeres violadas o las tribus desterradas, actos por los que nadie había pagado nunca en aquella tierra de Dios.

El caballo se acercaba por el final de la calle, fue disminuyendo su velocidad progresivamente y finalmente se paró, en medio de una nube de polvo. El jinete, un chico de unos 19 años, desmontó ágil de su cabalgadura, y se quedó de pie mirando fijamente al pistolero. Sus rasgos eran marcadamente indígenas, pero tenía el pelo sorprendentemente claro. Probablemente fuera un mestizo, de esos que también tienen cabida en la tierra de la libertad, pensó el pistolero. Lentamente, se separó de la columna de madera y comenzó a andar hacia el centro de la calle. El mestizo hizo lo mismo, sin dejar de mirarle a los ojos. ambos llevaban las manos cerca de las cartucheras.

- Pensé que no vendrías, chico. 

El mestizo no respondió, y ambos se quedaron mirándose fijamente, mientras el caballo, a unos 10 metros, relinchaba. El sol había salido, y las sombras de los dos hombres se proyectaban hacia el oeste, gigantescas. El pistolero tenía el sol de cara, pero no le molestaba.Estaba acostumbrado a verlo brillar para él en mitad del desierto. Era el mismo sol que alumbraba a los americanos y a los indios. Oía sonar en su cabeza una canción que su madre le cantaba cuando era pequeño. El viento silbaba por las ventanas. El pistolero llevó la mano a la culata de la pistola...

Se oyeron dos disparos. El mestizo fue más rápido, y el pistolero erró el tiro por el impacto, dando al suelo a tres metros de su objetivo. Cayendo de rodillas con un gemido de impotencia y rabia, dejó caer la pistola humeante al suelo. El mestizo guardó su arma en la cartuchera y, montando de nuevo, se alejó al paso con su caballo.

Una lágrima de ira cayó de los ojos del pistolero. Llevándose la mano al pecho se palpó la herida, al lado del crucifijo de oro de su madre. Era el pulmón, no tardaría mucho... La mirada se le iba nublando, y sintió una náusea seguida de un esputo de sangre, que expulsó tosiendo con un dolor punzante. Se derrumbó hacia atrás, quedando las piernas flexionadas. Ahora nada tenía sentido; cabía preguntarse si lo había tenido antes. "¿Por qué?" se preguntaba el pistolero, pero era demasiado tarde. Su caballo relinchó a lo lejos y él, como contestándole, expiró con un suspiro y los ojos abiertos de par en par.

Y así

Hoy es una de esas tardes poco productivas. Te levantas a las 17:23 después de haber trasnochado - actividad que nunca me ha llamado especialmente la atención - y por puro instinto de supervivencia, te fríes unas pechugas de pollo que acompañas de queso y pan, y arroz con leche de postre.

¿Sales? Nadie sale. ¿Lees? No tienes ganas. ¿Vas al cine? ¿sólo? Pues hale, en casa, sin hacer nada. Y lo peor es que hay una frase que te da vueltas en la cabeza: "Sólo se aburren los tontos, como debe usted saber..."

Como yo no soy tonto, voy a dar una vuelta, a ver qué se cuece.

Contando pollos (III parte)

Tras una breve espera reanudamos nuestra serie de artículos sobre conjuntos infinitos, dispuestos a dar respuesta a las preguntas que faltan. En la anterior entrada prometimos dar una prueba de que el orden de infinitud de los números reales es efectivamente mayor que el de los números naturales - si recordáis las anteriores explicaciones, probar esto implicaría probar también que el orden de infinitud de los reales es mayor que el de los enteros y los racionales, puesto que el cardinal transfinito de todos estos conjuntos es, como ya vimos, el mismo (). 

Vamos a dar unas pequeñas explicaciones preliminares, para pasar luego a abordar el problema con mayor seguridad. El conjunto de los números reales es, expresado de una manera sencilla, el formado por el conjunto de los números racionales (fracciones) y el conjunto de los números irracionales. Éstos últimos se caracterizan por tener infinitas cifras decimales que van sucediéndose de manera no periódica; los ejemplos más famosos son, como quizá conozcáis, el número π ("pi"), el número e ("e") o el número Φ ("número áureo"). La característica que diferencia a los números irracionales de los racionales es que no podemos dar una pauta que nos permita conocer la sucesión de sus cifras decimales, cosa que sí ocurre con los segundos.

¿Cuál es la esencia de la prueba?

Möbius band, M.C. Escher

 Vamos a llevar hasta el extremo nuestra analogía de las filas de pollos. Si lo que pretendemos es mostrar que un conjunto tiene un orden de infinitud mayor que otro, lo que en realidad pretendemos es ver que al emparejar los pollos de cada familia y hacerles desfilar por la puertecita del corral, al menos uno va a quedar descolgado y perdido. Por lo tanto y en buena lógica, lo que vamos a hacer es suponer que todos están ya emparejados, para luego ver que esto es imposible. Vamos a ello:

Supongamos que tenemos una lista numerada con todos los números reales. Esto equivale a emparejar cada número natural con un número real (el orden de aparición nos da igual). Para simplificar la prueba, vamos a suponer que la lista numerada contiene los números reales del 0 al 1 (es fácil probar que el orden de infinitud de este intervalo es equivalente al de toda la recta real, cosa que no demostraremos).

Así pues, una posible lista sería la que sigue:

1. 0.132245677538323..........................
2. 0.573839728947238..........................
3. 0.683447384579397..........................
4. 0.093993828273833.........................

etcétera. Ahora vamos a fijar nuestra atención en la cifra decimal correspondiente a la posición de cada número en la lista. Por ejemplo, nos fijaremos en la primera cifra decimal del número real que ocupa la posición 1, en la segunda cifra decimal del número real que ocupa la posición 2, y así sucesivamente. Vamos a construir en base a ello un número real tan rematadamente enrevesado que será imposible que esté en la lista.

**** Rogamos a los lectores mantengan la serenidad y lean con calma;

 ni el número es tan enrevesado, ni el autor pretende un holocausto cerebral **** 

La pequeña regla que vamos a utilizar será la siguiente: para conocer la cifra decimal que ocupa el lugar p de nuestro número, observaremos el número que ocupa el lugar p en nuestra lista y nos fijaremos en su p-ésima cifra decimal. Sea n el valor de esta cifra, entonces la cifra de nuestro número será, precisamente, n+1 (en el caso de que el valor de n sea 9 , la cifra de nuestro número será 0).

Vamos a clarificar esta regla con un ejemplo en base a nuestra querida lista: ¿cuál será la primera cifra decimal de nuestro número enrevesado? Viendo la primera cifra decimal del primer número de la lista, esto es, 1, tenemos que la primera cifra de nuestro número enrevesado será 1 + 1 = 2. Sencillo, ¿no?

número enrevesado = x = 0.2.................................

¿cuál será la segunda cifra decimal de nuestro número enrevesado? Viendo la segunda cifra decimal del segundo número de la lista, es decir, 7, tenemos que la segunda cifra de nuestro número enrevesado será 7 + 1 = 8.

número enrevesado = x = 0.28.............................

Y así sucesivamente, quedando x = 0.2840..............................

Ahora viene el golpe de gracia: ¿puede nuestra lista contener al número x?  Preguntémonos lo siguiente, que es lo mismo; ¿puede nuestro número x encontrarse en un lugar de nuestra lista? o bien, dicho de otra manera, ¿puede estar nuestro número x en el lugar m de la lista, donde m es cualquier número natural?

Es claro que esto no puede ocurrir ya que, tal y como lo hemos construido, nuestro número difiere del que ocupa el lugar m precisamente en la m-ésima cifra decimal. Para verlo más concretamente: nuestro número no puede estar en el lugar "1" de la lista, puesto que, como ya observamos, la 1ª cifra del número x y la 1ª cifra del número 1 de la lista ya son distintas. Vemos con claridad que lo mismo le sucede con el 2º número de la lista, con el 3º, el 4º, y así con todos los que quiera haber.

Nuestro número x es el pollo que queda descolgado, y por tanto hemos visto que el conjunto de los números reales es necesariamente de orden mayor que el conjunto de los números naturales. Más concretamente, el orden de infinitud de los números reales es , ya podéis ver que este corral entra dentro de la categoría de lo "bestia".

Los matemáticos tienen fama de parcos en palabras, principalmente porque la mayoría de ellos piensa que no es necesario añadir más cuando ya se ha demostrado algo. En este caso el artículo se ha alargado más de lo que yo pensaba, y creo que por deferencia hacia el paciente lector, vamos a acabar sin mayor esfuerzo adicional. Queda en el aire la respuesta a la pregunta ¿hay más números pares positivos que naturales? Sirva como aliciente para aquellos que se interesen por los emparejamientos de pollos. Os dejo con un recuerdo del infinito...

Volando entre las columnas

Es extraño cómo funciona la memoria; al final, la mayor parte de las vivencias que uno cree recordar son tan sólo construcciones, en gran medida constituidas por elementos ficticios, que forman escenas inmóviles o, en ocasiones, secuencias a cámara lenta. Entre mis recuerdos más queridos de los años de aprendizaje en el instituto sobresale una imagen de sus majestuosos pasillos, avanzando lentamente entre el juego de luces y sombras formado por los numerosos ventanales. Todavía soy capaz de sentir aquella atmósfera unas veces deslumbrante, otras veces tenuamente velada, como con el tiempo suspendido entre las inmóviles motas de polvo atrapadas por el aire. El silencio y la calma presiden, invisibles, todas esas imágenes. Tan sólo el ruido rítmico de mis pisadas caminando pausadamente se atreve a desafiarles. Las paredes, embaldosadas de amarillo y luz, parecen contener la respiración... Grandes cuadros, mapas coloniales, napoleónicos y romanos, tubos de ensayo, probetas y artilugios encerrados en sus vitrinas; todos son presa de la eternidad suspensa, centros de gravedad de las innumerables motas de polvo, convertidas para ellos en minúsculos satélites. Una puerta se abre tímidamente, a lo lejos, para acto seguido cerrarse con un suave quejido, como un reproche.

¿Cómo olvidar aquellos susurros del pasillo de dirección, aquella mezcla de papel, mármol, café, fotocopias y maderas nobles? Un breve instante de calma y lejanas conversaciones, perdidos sus ecos hacia las cumbres del elevado techo, enmarcan la solemnidad del templo. Un teléfono suena a lo lejos. Bajo despacio por la escalera principal, que es digna de reyes, y en su día lo fue de tiranos, como atestiguan las elocuentes paredes en escala de grises. Un escudo de otros tiempos me observa luminoso, con un destello solar fugaz e iracundo. Las gruesas paredes se yerguen, implacables, a medida que desciendo. Dejo atrás las motas de polvo, abro una puerta enmarcada por un noble portón, y salgo a la luz del día. Es un verano radiante, y todo ha quedado atrás. Suena el murmullo de la vida en cada rincón, pero mi corazón guarda todavía aquel silencio sagrado.

Todas las vivencias de mi época de estudiante se encuentran diluidas en la figura de aquel  solemne coloso. Los rostros amigos se agolpan en la memoria, acompañándome por cada uno de los rincones del gigante de piedra, sonrientes y afables como los recuerdos que se alejan... Recuerdo el verde de las mesas y el amarillo parcheado de las paredes, el gris de los techos y los marcos de las puertas, y aquel blanco de la virgen de escayola inmaculada, testigo de otros tiempos, aunque benevolente y comprensivo en su gesto.  La vetusta escalera de la biblioteca, con sus quisquillosos rugidos, pasa fugazmente ante mis ojos, arrebatada por la campana del recreo. Todavía me sobresalta al recordarlo el grito desgarrado del timbre, autoritario al principio de las clases y revolucionario a su final. Algo  indefinido sigue vibrando en aquella campana locuaz y saltarina... Repentinamente me viene a la mente, en terrible contraste, el recuerdo moribundo y lóbrego del viejo mecanismo del reloj principal, asombrado de, por fin, volver a mirar un rostro joven. Aquel vetusto reloj por siempre detenido es el timón del barco de piedra, la esencia y la mirada del  gigante de tez arenisca y cabellos rojizos de teja. Lo que nadie sabe es lo que esconden sus pupilas de aguja, tesoro guardado en el fondo de su alma candada, su mecanismo seco y suspendido, el espíritu bajo las telas de araña del tejado. En la azotea de las trampas de paloma me sentí el marinero más orgulloso de esa nave indestructible, con la antigua capilla a mis pies como un ilustre castillo de proa, y el altivo mástil de hierro de la torrecita puntiaguda, sembrada de azul y gris, a mis espaldas.

Ayer volví a ver el Instituto. Se oían las voces a lo lejos y, en mi interior, yo contemplaba la calma de su espíritu y escuchaba aquel eterno silencio sagrado...

Contando pollos (II parte)

Hacia el final de la primera entrada dedicada a los conjuntos infinitos nos planteábamos una serie de preguntas acerca de conjuntos distintos de los números naturales y enteros. Si nos fijásemos  por ejemplo en el conjunto de los números racionales, denotados por , observaríamos una propiedad curiosa y fácil de constatar: que entre dos números racionales siempre  podemos encontrar infinitos números racionales.

Quizás estemos yendo demasiado deprisa: para aquellos que deseen refrescar su memoria, los números racionales son aquellos de la forma  p/q , donde p y q son números enteros. Es decir, nos estamos refiriendo a las fracciones, también denominadas quebrados, de aquellos años queridos y lejanos de 2º de la E.S.O.

Como es de rigor entre los matemáticos, vamos a ofrecer una pequeña demostración, estudiada en 1º de carrera, que prueba el resultado anterior (tranquilidad, es casi inmediata):

• Entre dos números racionales existen infinitos números racionales:

Demostración: Sean p y q dos números racionales. Supongamos por ejemplo que fuera  
p > q (Si ocurriese lo contrario, la prueba sería la misma).  
Tenemos que:

Esto es, tomamos el punto medio del segmento de recta determinado por p y q, que necesariamente cumple la relación señalada. Este punto medio es, como se ve claramente, otro número racional, y reiterando este argumento podemos construir tantos números racionales como queramos entre p y q.   c.q.d.

Visto esto, vamos a ver que el orden de infinitud del conjunto de los números racionales es el mismo que el de los números naturales, es decir, usando la terminología técnica del artículo anterior, que podemos emparejar las filas de ambos conjuntos de pollos sin que ninguno quede descolgado.

Alguien podría decir: "Está bien, podría aceptar que los conjuntos de los números enteros y los números naturales tienen el mismo orden de infinitud, aunque me resulta raro que pueda ocurrir semejante cosa. Pero, señor mío, ¿¿cómo puede sostener seriamente que el conjunto de los números racionales pueda ser igual de "grande" que el de los naturales si, por ejemplo, entre el 1 y el 2 ya tenemos infinitos?? Está usted sin duda intentando embaucarme".

Es natural que alguien pensara algo así, y para eso se hicieron las demostraciones. Como vimos en el artículo anterior, se trata de dar una regla concreta que permita emparejar los elementos de ambos conjuntos mediante correspondencia biyectiva (emparejar las dos filas de pollos que desfilan, sin que sobre ni falte ninguno). En este caso apelaremos de nuevo al genio de Cantor para que nos muestre cómo podemos emparejar debidamente ambos conjuntos. Se trata en este caso del llamado argumento diagonal, que podemos explicar de manera gráfica. Veamos la siguiente imagen:

Lo que hemos hecho ha sido ordenar todos los posibles números racionales positivos, de manera que podamos recorrerlos todos sin temor a dejarnos ninguno por el camino. De esta forma, y siguiendo el trazado recorrido por la flecha, a cada número racional le asociamos un número natural,  quedando así todos emparejados. Como puede observarse, el por qué de la denominación del razonamiento es fácil de deducir. El hecho de que haya fracciones equivalentes no supone ningún problema: podemos tachar todas las demás una vez que tengamos una de ellas, y la flecha sigue el mismo recorrido "saltando por encima" de esa fracción. Por ejemplo, el 2/2 es equivalente al 1/1, pero podemos tachar el 2/2, el 3/3,  ... etc sin que ello suponga ninguna alteración en los emparejamientos (simplemente, no lo contamos). De manera análoga podemos incluir en esta numeración a las fracciones negativas y el número 0, con lo cual nos quedan las dos filas de pollos emparejadas por correspondencia biyectiva. En suma, el conjunto de los números naturales y el conjunto de los números racionales tienen el mismo cardinal de infinitud que, como ya señalamos en el artículo anterior, es .

¿Sorprendidos? El que no podamos contar los pollos no es obstáculo para que sepamos quién tiene más, como ya hemos explicado... La barrera más complicada de superar es la de la intuición surgida de la experiencia cotidiana. 

Me da la sensación de que ha sido mucha matemática por hoy... ¡A fin de cuentas estamos de vacaciones! En el siguiente y último artículo veremos que, finalmente, existe un conjunto infinito de mayor orden que el de los números naturales (¿ya comenzabais a dudarlo?), y éste es el conjunto de los números reales, denotado por .


Para finalizar (no todo va a ser trabajo) os dejo con un interesante vídeo en el que aparece uno de las piezas más divertidas de la obra de J.S. Bach: se trata del llamado "Canon Cancrizans", (Crab Canon, o  Canon Cangrejo). La peculiaridad de este canon, que aparece explicada visualmente, radica en que la línea melódica del acompañamiento es exactamente la línea melódica principal, pero ejecutada de derecha a izquierda. Además, el autor expone una curiosa animación que muestra una cierta analogía con la famosa banda de Möbius.

La lógica del juego

El 25 de Junio de 1857, un joven matemático llamado Charles Lutwidge Dodgson se encontraba en su habitación del Christ Church, escuchando los ecos de un baile celebrado en el salón. En ese momento escribió un poema a modo de acróstico, cuya estrofa más conocida es la que sigue:

¿Qué me importa a mí ese jolgorio, 

si mi mente está llena de potencias y quebrados?

Es evidente que este matemático sabía divertirse. Pero que se trataba de un profesional serio tampoco puede negarse, a juzgar por los títulos de algunas de sus obras, entre los que destacan: "Fórmulas de trigonometría en el plano", "Notas sobre los dos primeros libros de Euclides", "Guía del estudiante de matemáticas" o "Tratado elemental sobre determinantes". Excitante, ¿no es cierto? Además de estas obras de carácter académico, se dedicó también a diversos aspectos de la matemática recreativa, exponiendo numerosos problemas de ingenio, así como diversos juegos y métodos mnemotécnicos para recordar fácilmente largas retaílas de fechas y cifras. Se trataba de un intelectual de la Inglaterra victoriana del S. XIX, gran aficionado a la fotografía y a los paseos en barca.

El paciente lector que no haya empezado este artículo por el final se preguntará seguramente:

"¡Bueno! ¿Y quién demonios era?"

Quizás podamos ayudarle a aclarar sus ideas citando algunas de las obras, de índole no matemática, por las que es más conocido: "La caza del Snark", "Silvia y Bruno" y, especialmente, "Alicia en el país de las Maravillas" y "A través del espejo". Hablamos, como ya os podréis figurar, de Lewis Carroll, autor que sigue fascinando a niños y adultos con su pasión por los juegos y la lógica. Resulta fascinante recorrer sus libros y descubrir en cada nueva lectura ocultas alusiones a diversos aspectos de las matemáticas. 

El hombre tímido, algo sordo y tartamudo que se dedicaba a dar clases de matemáticas a jóvenes estudiantes durante el día, se transformaba durante sus largas noches en vela en un atrevido e ingenioso cuenta-cuentos. Las inocentes historias contadas a las hermanas Liddell durante un paseo en barca se convertían en delirantes aventuras en un mundo subterráneo más allá de la lógica y lo irracional. Es justamente esta antítesis, que algunos autores llegan a calificar de "desdoblamiento de la personalidad" (lo cual yo considero quizás algo exagerado), uno de los aspectos que más han fascinado de la personalidad de Carroll/Dodgson. Y sin embargo, cuando hablamos de ella, muy pocas personas conocen la faceta seria que servía en cierto modo de "tapadera" al irreverente matemático. Al leer una biografía suya, las matemáticas y los juegos se entrelazan de tal modo que pasan a ser casi indistinguibles: podemos aprender lógica deduciendo que "ninguna golosina deliciosa es perjudicial", adivinar números imposibles, encriptar mensajes con matrices o construir con un pañuelo un recipiente que contenga el universo entero.

Me gustaría animar a los lectores que quieran aprender y disfrutar algo más con esta faceta de Lewis Carroll, tan importante para comprender su obra literaria, recomendándoles un excelente libro publicado por la editorial Turner titulado "Lewis Carroll en el país de los números". Su autor, Robin Wilson, ha llevado a cabo un exhaustivo trabajo de documentación y recopilación de datos, que incluyen numerosos artículos poco conocidos del autor, así como problemas, juegos y pasajes de sus obras; todo ello hilvanado con gran maestría y narrado con un estilo agradable y distendido, haciendo de esta biografía una obra amena incluso para aquellos lectores que no suelan tratar con matemáticas (yo diría que es amena especialmente para ellos). 

Para concluir este pequeño artículo y aportar pruebas que avalen mi tesis, me gustaría exponer dos "perlas" que me han parecido especialmente interesantes, y que suelen aparecer en la mayoría de libros dedicados a Lewis Carroll. La primera de ellas es el siguiente poema, a él atribuido:

I often wondered when I cursed, 

Often feared where I would be  -

Wondered where she´d yield her love

When I yield, so will she,

I would her will be pitied!

Cursed be love! She pitied me...

(A menudo me preguntaba, cuando renegaba

muchas veces temía por dónde andaría...

Me preguntaba cuándo llegaría a amarme,

si me rindo, también cederá ella.

¡Ojalá su voluntad fuera respetada!

¡Maldito sea el amor! Ella me compadecía...)

Quizá parezca insulso a primera vista, pero... ¿Habéis probado a leerlo palabra por palabra de arriba a abajo, por columnas, además de de izquierda a derecha, por filas? ¡Es el mismo poema!

Para finalizar, expongo brevemente el método inventado por Lewis Carroll para adivinar, dada una fecha numérica (por ejemplo 9/02/1991), el día de la semana en el que sucedió. Hay que remarcar que este método sólo funciona para fechas posteriores a la corrección del calendario gregoriano en 1582:

Método de Carroll para averiguar el día de la semana

en que cae cualquier fecha

1º.- Dividir la fecha elegida en cuatro partes, es decir, la cifra que representa los siglos, el número del año del siglo correspondiente, el mes y el día del mes. 

Ejemplo: si la fecha es 18 de Septiembre de 1783, la descomponemos en: 17  |   83   |   9  |   18  |

2º.- Calcular las cuatro operaciones siguientes, sumándolas, sea cual sea el resultado, al total de las operaciones ya calculadas. Cuando algún resultado, o el total, sea superior a 7, dividir por 7 y memorizar tan sólo el resto.

- En la cifra indicativa del siglo: dividirla por cuatro, restar de 3 el resto y multiplicar el resultado por dos.

Ejemplo: 17 dividido entre 4 nos da un resto de 1; si restamos 1 de 3, nos queda 2, que multiplicado por 2 nos da 4.

- En la cifra indicativa del año: sumar el número de docenas, el sobrante, y el número de cuatros que tenga el sobrante. 

Ejemplo: 83 es igual a 6 docenas más 11; si sumamos ambas cantidades nos da 17, más 2 (11 = 4 + 4 + 3 , hay 2 cuatros), 19, es decir (dividiendo por 7), resto 5. Total: 9, es decir, 2 (resto de dividir nuevamente por 7).

- En el mes: si comienza o finaliza por vocal en inglés, restar de 10 la posición numeral que ocupa en el año. Esta cifra, más el número de días de dicho mes, nos dará el numeral del mes siguiente. El numeral para Enero es el 0; para Febrero o Marzo (tercer mes) es el 3; para Diciembre (duodécimo mes) es el 12. 

Ejemplo: El mes de Agosto es el mes 8, de modo que si restamos 10 - 8 = 2. Por tanto el numeral de Septiembre será 2 + 31 (número de días de Agosto) = 33, es decir, 5 (resto de dividir por 7).  Sumándolo al resultado anterior nos queda 2 + 5 = 7, es decir, 0.

- En el día: es exactamente el día del mes.

Si la fecha corresponde a Enero o Febrero de un año bisiesto, habremos de rectificar la cifra así obtenida restándole 1 (añadiendo antes 7 si el total fuese 0). Hay que recordar que todos los años divisibles por 4 son bisiestos, a excepción de aquéllos que marcan el inicio de cada siglo, que no sean divisibles por 4. Por ejemplo, 1800 no es bisiesto pero 2000 sí lo es.

El resultado final nos dará el día de la semana, habida cuenta de que el domingo es el 0, el lunes es el 1, y así sucesivamente. 

Ejemplo: 18 nos da 4, que sumado al resultado anterior nos da 0 + 4 = 4. Respuesta: Jueves

Podéis creerlo o no, pero Lewis Carroll afirmaba que la cuenta mental le llevaba unos 20 segundos después de cierta práctica. Yo le rondo los 30 o 40 después de hacerlo varias veces.

¡Sed lógicos, y sed felices!