Ein musikalisches Opfer (A musical offering)

En "Gödel, Escher, Bach", la obra más conocida de Douglas R. Hofstadter, el autor muestra en un pasaje especialmente afortunado el paralelismo existente entre una pieza de música clásica y una demostración matemática. En concreto, el puente que relaciona unos elementos con otros es, en palabras del autor, "el sentido matemático de la tensión, íntimamente relacionado con su sentido de la belleza". 

Johann Sebastian Bach (1685-1750)

Esta tensión se puede sentir, al escuchar una pieza musical, en las progresiones armónicas que nos permiten saber cuál es la tonalidad de la obra, sin llegar a resolverla. En el caso de la demostración matemática, la tensión es provocada al adentrarse en la lectura de los razonamientos, los cuales se alejan cada vez más de los postulados iniciales, sin que veamos exactamente cuál será, finalmente, la "resolución". Así mismo, tenemos también momentos de "respiro" tanto en la obra musical como en la demostración: en una pieza de tipo AABB se "arriba a una resolución momentánea, aun cuando no se haga en la nota tónica". En el ámbito matemático, haríamos referencia a los resultados intermedios conocidos como "lemas" - pruebas de menor profundidad que son utilizados en el cuerpo principal de la demostración.

En uno y otro caso, la sensación que tiene el oyente/lector es la de alguien que emprende un viaje por un camino, dejándose llevar, sin saber hacia dónde se dirige. En la pieza musical, el punto de partida es la nota tónica, mientras que en la demostración se trata de las hipótesis iniciales. A medida que la pieza avanza, el oyente avezado puede intuir con mayor o menor dificultad hacia dónde se encaminan los pasos, y de qué forma va a concluir el viaje. El matemático que lee una demostración no necesita ninguna información añadida, puesto que el final de la prueba debe ser exactamente el enunciado que se pretende demostrar.
 

En ambas creaciones existe un momento en el cual se tiene la sensación de que nos encaminamos indudablemente hacia la conclusión. En casi todas las demostraciones - o al menos, diría Hardy, en las "elegantes" - existe una idea fundamental alrededor de la cual se estructura toda la prueba y, al llegar a ese paso crucial (la llamada muchas veces "idea feliz") , el matemático siente un profundo escalofrío de admiración y de complacencia estética. Es en ese instante cuando vemos la luz al final del túnel y, al igual que ocurre en el desenlace de la tensión musical, nos lanzamos ávidamente a disfrutar de cada uno de los pasos siguientes,  sabiendo que toda la obra está ya en nuestras manos. 

 En mi opinión, no existe una obra mejor que la de Johann Sebastian Bach para exponer con claridad este paralelismo tan íntimo. A veces se suele objetar que, si uno quiere buscar la apariencia matemática en un tema musical, lo mejor es remitirse a los compositores del clasicismo o, incluso, a los de la segunda escuela vienesa, quizás por su sobriedad o por su estricta adhesión a unas normas formales. Sin embargo la obra del organista de Leipzig aporta, a diferencia de las arriba mencionadas, una clara e importante "distinción entre figura y fondo" ya remarcada por Hofstadter en su libro. En este caso nos referimos a la relación de tensión existente entre la línea melódica principal y el acompañamiento, que Bach supo aprovechar con total maestría para desarrollar su potente visión musical. Una de las pruebas más elocuentes en este sentido es su inmortal Canon 5 a 2 Per Tonos "Ascendenteque Modulatione Ascendat Gloria Regis" (Así ascienda la gloria del rey como ascienden las modulaciones). En suma, la tesis que mantenemos es que la profusión y diversidad de líneas melódicas aparentemente independientes entre sí, pero entrelazadas con maestría para crear los efectos más sorprendentes, es esencialmente la que otorga a la obra de Bach esa profundidad de la que adolecen otros compositores posteriores, más sobrios en ese sentido. Es justamente en la extraordinaria capacidad del autor por aunar temas en apariencia tan dispares donde se manifiesta con toda claridad la profundidad estética de su proceso de creación, que se nutre evidentemente de lo formal para ir siempre un poco más allá. Eso es, a mi juicio, lo extraordinario del genio de Bach. 

Por esta razón creo que Bach es el más matemático de los compositores. Porque las matemáticas, al igual que sus composiciones, se nutren de lo formal para ir, siempre, un poco más allá...

Aquí tenéis esta pequeña ofrenda musical. Para una descripción muy bella y completa de este maravilloso canon, remito nuevamente al libro de Douglas R. Hofstadter "Gödel, Escher, Bach: un Eterno y Grácil Bucle" pág. 12 (Ed. Tusquets 2009).