Contando pollos (II parte)

Hacia el final de la primera entrada dedicada a los conjuntos infinitos nos planteábamos una serie de preguntas acerca de conjuntos distintos de los números naturales y enteros. Si nos fijásemos  por ejemplo en el conjunto de los números racionales, denotados por , observaríamos una propiedad curiosa y fácil de constatar: que entre dos números racionales siempre  podemos encontrar infinitos números racionales.

Quizás estemos yendo demasiado deprisa: para aquellos que deseen refrescar su memoria, los números racionales son aquellos de la forma  p/q , donde p y q son números enteros. Es decir, nos estamos refiriendo a las fracciones, también denominadas quebrados, de aquellos años queridos y lejanos de 2º de la E.S.O.

Como es de rigor entre los matemáticos, vamos a ofrecer una pequeña demostración, estudiada en 1º de carrera, que prueba el resultado anterior (tranquilidad, es casi inmediata):

• Entre dos números racionales existen infinitos números racionales:

Demostración: Sean p y q dos números racionales. Supongamos por ejemplo que fuera  
p > q (Si ocurriese lo contrario, la prueba sería la misma).  
Tenemos que:

Esto es, tomamos el punto medio del segmento de recta determinado por p y q, que necesariamente cumple la relación señalada. Este punto medio es, como se ve claramente, otro número racional, y reiterando este argumento podemos construir tantos números racionales como queramos entre p y q.   c.q.d.

Visto esto, vamos a ver que el orden de infinitud del conjunto de los números racionales es el mismo que el de los números naturales, es decir, usando la terminología técnica del artículo anterior, que podemos emparejar las filas de ambos conjuntos de pollos sin que ninguno quede descolgado.

Alguien podría decir: "Está bien, podría aceptar que los conjuntos de los números enteros y los números naturales tienen el mismo orden de infinitud, aunque me resulta raro que pueda ocurrir semejante cosa. Pero, señor mío, ¿¿cómo puede sostener seriamente que el conjunto de los números racionales pueda ser igual de "grande" que el de los naturales si, por ejemplo, entre el 1 y el 2 ya tenemos infinitos?? Está usted sin duda intentando embaucarme".

Es natural que alguien pensara algo así, y para eso se hicieron las demostraciones. Como vimos en el artículo anterior, se trata de dar una regla concreta que permita emparejar los elementos de ambos conjuntos mediante correspondencia biyectiva (emparejar las dos filas de pollos que desfilan, sin que sobre ni falte ninguno). En este caso apelaremos de nuevo al genio de Cantor para que nos muestre cómo podemos emparejar debidamente ambos conjuntos. Se trata en este caso del llamado argumento diagonal, que podemos explicar de manera gráfica. Veamos la siguiente imagen:

Lo que hemos hecho ha sido ordenar todos los posibles números racionales positivos, de manera que podamos recorrerlos todos sin temor a dejarnos ninguno por el camino. De esta forma, y siguiendo el trazado recorrido por la flecha, a cada número racional le asociamos un número natural,  quedando así todos emparejados. Como puede observarse, el por qué de la denominación del razonamiento es fácil de deducir. El hecho de que haya fracciones equivalentes no supone ningún problema: podemos tachar todas las demás una vez que tengamos una de ellas, y la flecha sigue el mismo recorrido "saltando por encima" de esa fracción. Por ejemplo, el 2/2 es equivalente al 1/1, pero podemos tachar el 2/2, el 3/3,  ... etc sin que ello suponga ninguna alteración en los emparejamientos (simplemente, no lo contamos). De manera análoga podemos incluir en esta numeración a las fracciones negativas y el número 0, con lo cual nos quedan las dos filas de pollos emparejadas por correspondencia biyectiva. En suma, el conjunto de los números naturales y el conjunto de los números racionales tienen el mismo cardinal de infinitud que, como ya señalamos en el artículo anterior, es .

¿Sorprendidos? El que no podamos contar los pollos no es obstáculo para que sepamos quién tiene más, como ya hemos explicado... La barrera más complicada de superar es la de la intuición surgida de la experiencia cotidiana. 

Me da la sensación de que ha sido mucha matemática por hoy... ¡A fin de cuentas estamos de vacaciones! En el siguiente y último artículo veremos que, finalmente, existe un conjunto infinito de mayor orden que el de los números naturales (¿ya comenzabais a dudarlo?), y éste es el conjunto de los números reales, denotado por .


Para finalizar (no todo va a ser trabajo) os dejo con un interesante vídeo en el que aparece uno de las piezas más divertidas de la obra de J.S. Bach: se trata del llamado "Canon Cancrizans", (Crab Canon, o  Canon Cangrejo). La peculiaridad de este canon, que aparece explicada visualmente, radica en que la línea melódica del acompañamiento es exactamente la línea melódica principal, pero ejecutada de derecha a izquierda. Además, el autor expone una curiosa animación que muestra una cierta analogía con la famosa banda de Möbius.